这一章主要讲了有理数，有理数为整数和分数的统称。正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。由于任何一个整数或分数都可以化为十进制循环小数，反之，每一个十进制循环小数也能化为整数或分数，因此，有理数也可以定义为十进制循环小数。

（一）、有理数的基础知识

1、三个重要的定义

（1）正数：像1、2.5、245、这样大于0的数叫做正数；（2）负数：在证书前面加上“一”号，表示比0小的数叫做负数；（3）0既不是正数也不是负数。

2、有理数的分类

（1）按定义分类：有理数分为整数（正整数、0、负整数）、分数（正分数、负分数）。

（2）按性质符号分类：正有理数（正分数、正整数）、0、负有理数（负整数、负分数）。

3、数轴

数轴有三要素：原点、正方向、单位长度。画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定上向右的方向为正方向，就得到数轴。在数轴上的所表示的数，右边的数总比左边的数大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。

4、相反数如果两个数只有符号不同，其中一个数就叫另一个数的相反数。0的相反数是0，互为相反数的两个数，在数轴上位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。

5、绝对值

（1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离

（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是个负数的绝对值是它的相反数。

（3）两个负数比较大小，绝对值大的反而小，绝对值小的反而大

（二）、有理数的运算1、有理数的加法

（1）有理数加法法则：①同号两数相加，去相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；③互为相反数的两个数相加结果为0；④一个数同0相加，仍得这个数。

（2）有理数加法的运算律：

加法的交换律：a+b+e=a+（b+c）；加法的结合律：（a+b）+

用加法的运算路进行简便运算的基本思路是：先把互为相反数得数相加；把同分母的分数先相加；把相加得整数的数先相加。

2、有理数的减法

（1）有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数

（2）有理数减法常见错误：顾此失彼，没有顾到结果的符号；仍用小学计算的习惯不把减法变加法；只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成相反数。

（3）有理数加法混合运算步骤：先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算。

3、有理数的乘法

（1）有理数乘法的法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0。

（2）有理数乘法的运算律：交换律：ab=ba；结合律：（ab）

交换律：a（b+c）=ab+ac

（3）倒数的定义：乘积是1的两个有理数互为倒数，即ab=1，那么

a和b互为倒数；倒数也可以看成是把分子分母的位置颠倒过来。

4、有理数的除法有理数除法法则：除以一个数，等于乘上这个数的倒数，0不能做除数。这个法则可以把除法转化为乘法；除法法则也可以看成是：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都等于0。

5、有理数的乘方

（1）有理数的乘法定义：求几个相同因数a的运算叫做乘方，乘方是种运算，是几个相同的因数的特殊乘法运算，记作“a〃”其中a叫做底数，表示相同的因数，〃叫做指数，表示相同因数的个数，它所表示的意义是〃个a相乘，不是〃乘以a，乘方的结果叫做幂

（2）正数的任何次方都是整数，负数的偶数次方是正数，负数的奇数次方是负数，0的任何次方都是06、有理数的混合运算

（1）进行有理数混合运算的关键是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法则，运算律及运算顺序。比较复杂的混合运算，一般可先根据题中的加减运算，把算式分成几段，计算时，先从每段的乘方开始，按顺序运算，有括号先算括号里的，同时要注意灵活运用运算律简化运算。

（2）进行有理数的混合运算时，应注意：一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算；二是要注意观察，灵活运用运算律进行简便运算，以提高运算速度。